Buonasera,
in realtà credo sia sufficiente supporre che la regione sia compatta. Insieme al fatto che gli zeri e i poli di una funzione olomorfa sono un insieme discreto e chiuso nel dominio della funzione, e dunque nella regione, ciò dovrebbe garantire la finitezza degli zeri e dei poli contenuti nella regione.
Cordiali saluti,
R.F.
in realtà credo sia sufficiente supporre che la regione sia compatta. Insieme al fatto che gli zeri e i poli di una funzione olomorfa sono un insieme discreto e chiuso nel dominio della funzione, e dunque nella regione, ciò dovrebbe garantire la finitezza degli zeri e dei poli contenuti nella regione.
Cordiali saluti,
R.F.
Giusto. Quindi, d'altronde anche per l'esistenza della derivata logaritmica, supponiamo che se \(f \colon U \to \mathbb{C}\) è la nostra funzione meromorfa, allora per ogni componente connessa \(C_i\) di \(U\), \(f\) non sia identicamente nulla in \(C_i\). Corretto?
Per sicurezza si può senza dubbio supporre. Tuttavia, credo che quel che ci interessa sia che f non sia identicamente nulla su alcuna componente della regione R. Ora, ogni componente di R ha bordo non vuoto (altrimenti sarebbe aperta, mentre è compatta), e stiamo supponendo che f non si annulli sul bordo di R, dunque credo che l'enunciato del teorema dato a lezione sia corretto.
Giusto. Tutto chiaro, grazie per il chiarimento.