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Dubbio Lezione 06/05/2021

Dubbio Lezione 06/05/2021

de MIRKO TORRESANI -
Número de respuestas: 4
Buongiorno, ho un dubbio riguardo al teorema sul numero di zeri e di poli di una funzione meromorfa. Quando viene detto che nella regione R ci sono un numero finito di zeri, mi sembra essenziale assumere che la regione sia connessa. É corretto? Grazie per il chiarimento
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Re: Dubbio Lezione 06/05/2021

de ROBERTO FRIGERIO -
Buonasera,

in realtà credo sia sufficiente supporre che la regione sia compatta. Insieme al fatto che gli zeri e i poli di una funzione olomorfa sono un insieme discreto e chiuso nel dominio della funzione, e dunque nella regione, ciò dovrebbe garantire la finitezza degli zeri e dei poli contenuti nella regione.

Cordiali saluti,

R.F.
En respuesta a ROBERTO FRIGERIO

Re: Dubbio Lezione 06/05/2021

de MIRKO TORRESANI -
Giusto. Quindi, d'altronde anche per l'esistenza della derivata logaritmica, supponiamo che se \(f \colon U \to \mathbb{C}\) è la nostra funzione meromorfa, allora per ogni componente connessa \(C_i\) di \(U\), \(f\) non sia identicamente nulla in \(C_i\). Corretto?
En respuesta a MIRKO TORRESANI

Re: Dubbio Lezione 06/05/2021

de ROBERTO FRIGERIO -
Per sicurezza si può senza dubbio supporre. Tuttavia, credo che quel che ci interessa sia che f non sia identicamente nulla su alcuna componente della regione R. Ora, ogni componente di R ha bordo non vuoto (altrimenti sarebbe aperta, mentre è compatta), e stiamo supponendo che f non si annulli sul bordo di R, dunque credo che l'enunciato del teorema dato a lezione sia corretto.