Cari tutti,
ho ricevuto domande di più di voi rispetto al "Warning" alla fine del foglio di esercizi. Vorrei ripetere: l'enunciato che X e Y sono isomorfi vuol dire che esiste una mappa X -> Y che ammette una mappa inversa. Il fatto che la mappa X -> Y è un isomorfismo può essere dimostrato senza costruire esplicitamente una mappa inversa, ma senza stabilire l'esistenza di una mappa X -> Y (o Y -> X) l'argomento è incompleto.
Ad esempio: alla fine della dimostrazione della prop. 2.9 dico in particolare che esiste un isomorfismo tra Hom_R(A,F)\otimes R_P e Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P). L'argomento non è dettagliato negli appunti, ma l'ho spiegato in classe. Eccolo di nuovo:
C'è una mappa Hom_R(A,F) --> Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P) che manda f: A --> F su f\otimes id_{R_P}. Questa è una mappa R-lineare, ma come a destra abbiamo un modulo su R_P induce una mappa R-bilineare Hom_R(A,F) x R_P --> Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P) [prodotto con gli elementi di R_P]. Ne risulta una mappa Hom_R(A,F) \otimes R_P --> Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P) [definizione del prodotto tensoriale]. Notate che non ho costruito la mappa esplicitamente sugli elementi, però la costruzione è rigorosa.
Come dimostrare che questa mappa è un isomorfismo? Costruire una mappa inversa sarebbe fastidioso . Ma si può procedere cosi: osserviamo che per A=R la mappa è ovviamente un isomorfismo perchè s'identifica all'identità di F\otimes R_P. Allora è anche un isomorfisomo per un modulo libero A= R^n visto la compatibilità con prodotti diretti. Se adesso si prende una presentazione R^m -> R^n -> A -> 0 e si scrivono le mappe per R^m, R^n e A, si ottiene un diagramma commutativo di successione esatte dove le mappe che vengono da R^n e R^m sono degli isomorfismi (scrivetelo!) Una caccia al diagramma mostra allora che la mappa è un isomorfismo anche per A.
Il punto del `Warning' era: non basta la seconda parte di questo argomento! Gli isomorfismi per A=R^n, R^m sono facili da stabilire, però non possiamo dedurre l'isomorfismo per A se non abbiamo costruito il diagramma! E per questo bisogna cominciare con la definizione della mappa in generale.
Spero che adesso il punto è chiaro!
Molti saluti,
Tamás Szamuely