Nel riguardare le lezioni del primo semestre riguardo agli spazi compatti, mi è sorta una domanda.
Sappiamo che presi \(X_1, \dots, X_n\) spazi topologici e \(A_1, \dots, A_n\) relativi sottospazi, allora vi è un ovvia immersione topologica, data dall'inclusione: \( f \colon A_1 \times \dots \times A_n \to X_1 \times \dots \times X_n\). La domanda è se questo continui a valere anche nel caso in cui si consideri un numero infinito di di indici.
La risposta che mi sono dato è di si, in quanto anche nel caso infinito, la topologia su \(\prod_{i \in I} A_i\) dovrebbe coincidere con quella di sottospazio indotta da \(\prod_{i \in I}X_i\). Tuttavia non sono sicuro.
Grazie per l'eventuale conferma,
Mirko Torresani
Ciao Mirko,
direi proprio di sì. È chiaro che l'inclusione è continua anche nel caso di un prodotto infinito, e una base degli aperti del prodotto degli \(A_i\) è data da sottoinsiemi della forma \(\prod_{i\in I} B_i\) dove \(B_i\subseteq A_i\) è un aperto, diverso da tutto \(A_i\) soltanto per un numero finito di indici, diciamo \(i_1,\dots, i_k\). Per questi indici, visto che \(A_{i_j}\subseteq X_{i_j}\) è un sottospazio, esiste un aperto \(C_{i_j}\subseteq X_{i_j}\) tale che \(C_{i_j}\cap A_{i_j}=B_{i_j}\), dunque il sottoinsieme \(\prod_{i\in I} C_i \subseteq \prod_{i\in I}X_i\), dove \(C_i=C_{i_j}\) se \(i=i_j\), e \(C_i=X_i\) altrimenti, è aperto, e l'intersezione con il prodotto degli \(A_i\) è proprio l'aperto di base \(\prod_{i\in I} B_i\) da cui siamo partiti.
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direi proprio di sì. È chiaro che l'inclusione è continua anche nel caso di un prodotto infinito, e una base degli aperti del prodotto degli \(A_i\) è data da sottoinsiemi della forma \(\prod_{i\in I} B_i\) dove \(B_i\subseteq A_i\) è un aperto, diverso da tutto \(A_i\) soltanto per un numero finito di indici, diciamo \(i_1,\dots, i_k\). Per questi indici, visto che \(A_{i_j}\subseteq X_{i_j}\) è un sottospazio, esiste un aperto \(C_{i_j}\subseteq X_{i_j}\) tale che \(C_{i_j}\cap A_{i_j}=B_{i_j}\), dunque il sottoinsieme \(\prod_{i\in I} C_i \subseteq \prod_{i\in I}X_i\), dove \(C_i=C_{i_j}\) se \(i=i_j\), e \(C_i=X_i\) altrimenti, è aperto, e l'intersezione con il prodotto degli \(A_i\) è proprio l'aperto di base \(\prod_{i\in I} B_i\) da cui siamo partiti.
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Pefetto, tutto chiaro. Ne approfitto per sottoporre un altra questione che mi è sorta nello studio.
Consideriamo un sottospazio \(Y\) retratto per deformazione "debole" \(X\). A scanso di equivoci, intendo che esiste una retrazione \(r \colon X \to Y\) tale che \(i \circ r \colon X \to X\) è omotopa a \( id_Y\) . Sia inoltre \(y_0 \in Y\)
Allora è sempre vero che \(\Pi_1(Y, y_0)\) e \(\Pi_1(X, y_0)\) sono isomorfi? Il dubbio è sorto dal fatto che \(Y\) e \(X\) nella nostra situazione dovrebbero essere omotopicamente equivalenti, quindi i relativi gruppi fondamentali isomorfi. Tuttavia abbiamo quasi sempre usato retrazioni forti negli esercizi.
Grazie per il chiarimento.
Consideriamo un sottospazio \(Y\) retratto per deformazione "debole" \(X\). A scanso di equivoci, intendo che esiste una retrazione \(r \colon X \to Y\) tale che \(i \circ r \colon X \to X\) è omotopa a \( id_Y\) . Sia inoltre \(y_0 \in Y\)
Allora è sempre vero che \(\Pi_1(Y, y_0)\) e \(\Pi_1(X, y_0)\) sono isomorfi? Il dubbio è sorto dal fatto che \(Y\) e \(X\) nella nostra situazione dovrebbero essere omotopicamente equivalenti, quindi i relativi gruppi fondamentali isomorfi. Tuttavia abbiamo quasi sempre usato retrazioni forti negli esercizi.
Grazie per il chiarimento.
immagino sia \(id_X\).
Si, e` sempre vero. Anzi in questo caso e` vera una cosa leggermente piu` forte di quella che si deduce per spazi omotopicamente equivalenti, ovvero che le mappe indotte da \(i\) e \(r\) in omotopia sono una l'inversa dell'altra; in generale, se riguardi il teorema fatto a lezione, questo non si puo` dire se hai due mappe che danno una equivalenza omotopica. Applicando il teorema infatti da \(i \circ r \) omotopa all'identita` deduci che in omotopia induce un isomorfismo. Nel nostro caso pero` abbiamo anche \(r_*\circ i_*=id\), quindi le due mappe \(i_*\) e \(r_*\) sono isomorfismi e sono una l'inversa dell'altra.
Mi faccia sapere se e` chiaro.
Si, e` sempre vero. Anzi in questo caso e` vera una cosa leggermente piu` forte di quella che si deduce per spazi omotopicamente equivalenti, ovvero che le mappe indotte da \(i\) e \(r\) in omotopia sono una l'inversa dell'altra; in generale, se riguardi il teorema fatto a lezione, questo non si puo` dire se hai due mappe che danno una equivalenza omotopica. Applicando il teorema infatti da \(i \circ r \) omotopa all'identita` deduci che in omotopia induce un isomorfismo. Nel nostro caso pero` abbiamo anche \(r_*\circ i_*=id\), quindi le due mappe \(i_*\) e \(r_*\) sono isomorfismi e sono una l'inversa dell'altra.
Mi faccia sapere se e` chiaro.
Grazie mille, tutto chiaro