Cari tutti,
Il terzo foglio di esercizi è disponibile su Moodle e sulla mia pagina personale. Scadenza: 29 novembre 23:59. Dopo la lezione di lunedì sarete capaci di risolvere tutti gli esercizi.
D'altra parte, come lo sapete, la Toscana è ora in zona rossa, quindi per un tempo le lezioni non potranno più svolgersi in presenza. Però saranno trasmesse dall'Aula Magna come di solito.
Buon lavoro,
Tamás Szamuely
Posts made by TAMAS SZAMUELY
Cari tutti,
venerdì 13 ci sarà uno sciopero del personale di pulizia e il dipartimento rimanerà chiuso. In conseguenza anche la mia lezione di venerdì è annullata. Prossima lezione: lunedì 16 novembre.
A presto,
Tamás Szamuely
PS: I compiti sono stati corretti, ci sarà un messaggio tra poco.
venerdì 13 ci sarà uno sciopero del personale di pulizia e il dipartimento rimanerà chiuso. In conseguenza anche la mia lezione di venerdì è annullata. Prossima lezione: lunedì 16 novembre.
A presto,
Tamás Szamuely
PS: I compiti sono stati corretti, ci sarà un messaggio tra poco.
Buongiorno, abbiamo ricevuto 25 consegne come la prima volta. Dunque credo che tutte sono arrivate. Grazie!
PS: Certo, nell'esempio specifico sarebbe stato possibile di fare tutto insieme, i.e. prendere la presentazione R^m --> R^n --> A --> 0, costruire un diagramma di isomorfismi per R^m e R^n e poi dire che questo diagramma induce un isomorfismo sui nuclei. In questo modo abbiamo costruito la mappa e abbiamo dimostrato nel stesso tempo che è un isomorfismo.
Questo argomento è perfettamente valido, ma quello del messaggio precedente è più elegante perché la mappa costruita non dipende della presentazione.
Questo argomento è perfettamente valido, ma quello del messaggio precedente è più elegante perché la mappa costruita non dipende della presentazione.
Cari tutti,
ho ricevuto domande di più di voi rispetto al "Warning" alla fine del foglio di esercizi. Vorrei ripetere: l'enunciato che X e Y sono isomorfi vuol dire che esiste una mappa X -> Y che ammette una mappa inversa. Il fatto che la mappa X -> Y è un isomorfismo può essere dimostrato senza costruire esplicitamente una mappa inversa, ma senza stabilire l'esistenza di una mappa X -> Y (o Y -> X) l'argomento è incompleto.
Ad esempio: alla fine della dimostrazione della prop. 2.9 dico in particolare che esiste un isomorfismo tra Hom_R(A,F)\otimes R_P e Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P). L'argomento non è dettagliato negli appunti, ma l'ho spiegato in classe. Eccolo di nuovo:
C'è una mappa Hom_R(A,F) --> Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P) che manda f: A --> F su f\otimes id_{R_P}. Questa è una mappa R-lineare, ma come a destra abbiamo un modulo su R_P induce una mappa R-bilineare Hom_R(A,F) x R_P --> Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P) [prodotto con gli elementi di R_P]. Ne risulta una mappa Hom_R(A,F) \otimes R_P --> Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P) [definizione del prodotto tensoriale]. Notate che non ho costruito la mappa esplicitamente sugli elementi, però la costruzione è rigorosa.
Come dimostrare che questa mappa è un isomorfismo? Costruire una mappa inversa sarebbe fastidioso . Ma si può procedere cosi: osserviamo che per A=R la mappa è ovviamente un isomorfismo perchè s'identifica all'identità di F\otimes R_P. Allora è anche un isomorfisomo per un modulo libero A= R^n visto la compatibilità con prodotti diretti. Se adesso si prende una presentazione R^m -> R^n -> A -> 0 e si scrivono le mappe per R^m, R^n e A, si ottiene un diagramma commutativo di successione esatte dove le mappe che vengono da R^n e R^m sono degli isomorfismi (scrivetelo!) Una caccia al diagramma mostra allora che la mappa è un isomorfismo anche per A.
Il punto del `Warning' era: non basta la seconda parte di questo argomento! Gli isomorfismi per A=R^n, R^m sono facili da stabilire, però non possiamo dedurre l'isomorfismo per A se non abbiamo costruito il diagramma! E per questo bisogna cominciare con la definizione della mappa in generale.
Spero che adesso il punto è chiaro!
Molti saluti,
Tamás Szamuely
ho ricevuto domande di più di voi rispetto al "Warning" alla fine del foglio di esercizi. Vorrei ripetere: l'enunciato che X e Y sono isomorfi vuol dire che esiste una mappa X -> Y che ammette una mappa inversa. Il fatto che la mappa X -> Y è un isomorfismo può essere dimostrato senza costruire esplicitamente una mappa inversa, ma senza stabilire l'esistenza di una mappa X -> Y (o Y -> X) l'argomento è incompleto.
Ad esempio: alla fine della dimostrazione della prop. 2.9 dico in particolare che esiste un isomorfismo tra Hom_R(A,F)\otimes R_P e Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P). L'argomento non è dettagliato negli appunti, ma l'ho spiegato in classe. Eccolo di nuovo:
C'è una mappa Hom_R(A,F) --> Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P) che manda f: A --> F su f\otimes id_{R_P}. Questa è una mappa R-lineare, ma come a destra abbiamo un modulo su R_P induce una mappa R-bilineare Hom_R(A,F) x R_P --> Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P) [prodotto con gli elementi di R_P]. Ne risulta una mappa Hom_R(A,F) \otimes R_P --> Hom_R_P(A\otimes R_P, F\otimes R_P) [definizione del prodotto tensoriale]. Notate che non ho costruito la mappa esplicitamente sugli elementi, però la costruzione è rigorosa.
Come dimostrare che questa mappa è un isomorfismo? Costruire una mappa inversa sarebbe fastidioso . Ma si può procedere cosi: osserviamo che per A=R la mappa è ovviamente un isomorfismo perchè s'identifica all'identità di F\otimes R_P. Allora è anche un isomorfisomo per un modulo libero A= R^n visto la compatibilità con prodotti diretti. Se adesso si prende una presentazione R^m -> R^n -> A -> 0 e si scrivono le mappe per R^m, R^n e A, si ottiene un diagramma commutativo di successione esatte dove le mappe che vengono da R^n e R^m sono degli isomorfismi (scrivetelo!) Una caccia al diagramma mostra allora che la mappa è un isomorfismo anche per A.
Il punto del `Warning' era: non basta la seconda parte di questo argomento! Gli isomorfismi per A=R^n, R^m sono facili da stabilire, però non possiamo dedurre l'isomorfismo per A se non abbiamo costruito il diagramma! E per questo bisogna cominciare con la definizione della mappa in generale.
Spero che adesso il punto è chiaro!
Molti saluti,
Tamás Szamuely