Buongiorno, volevo avere una delucidazione in merito alle lezioni sull'analisi complessa.
Quando si parla di funzioni \(f \colon U \to \mathbb{C}\), immagino che dia per dato che \(U\) sia un aperto, giusto?
E inoltre anche le 1-forme vengono considerate tutte continue, è esatto?
Grazie per il chiarimento.
Esatto, abbiamo definito la condizione di olomorfia solo per funzioni definite su aperti, e le 1-forme sono sempre assunte continue.
Perfetto, grazie mille
Quando studiamo le funzioni olomorfe U e` quasi sempre un aperto di C, e quando abbiamo le 1-forme le abbiamo assunte continue. L'unica eccezione e` che nell'ultima lezione abbiamo anche considerato funzioni olomorfe definite sulla sfera di Riemann o su un aperto della sfera di Riemann.
Grazie. Ne approfitto per chiedere un altra cosa. Nella lezione del 4 maggio, abbiamo dimostrato che se prendiamo una funzione olomorfa \(f \colon U \to \mathbb{C}\) definita su un \(U\) aperto simmetrico, tale che \(f( U \cap \mathbb{R}) \subseteq \mathbb{R}\), allora \(\overline{f(\overline{z})} = f(z)\).
Mi sembra che la connessione di \(U\) sia essenziale. Un controesempio a riguardo mi sembra provenire da \(U = \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}\), con \(f(z) = 1\) se \(Im(z) < 0\) e \(f(z) = 2\) se \(Im(z) > 0\)
Mi sembra che la connessione di \(U\) sia essenziale. Un controesempio a riguardo mi sembra provenire da \(U = \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}\), con \(f(z) = 1\) se \(Im(z) < 0\) e \(f(z) = 2\) se \(Im(z) > 0\)
Sì certo, la connessione di U è necessaria.
Perfetto grazie. Il dubbio è sorto dal fatto che nella lezione abbiamo detto che se \(U\) non è connesso si può agire sulle singole componenti connesse, e la cosa non mi tornava.