Buongiorno,
avrei bisogno di chiarimenti riguardo l'esercizio dato alla fine della lezione del 7/10 che chiedeva di dimostrare che una curva affine di grado almeno uno in \( \mathbb{C} \) ha supporto illimitato (rispetto alla norma euclidea su \( \mathbb{R}^4 \cong \mathbb{C}^2 \)).
La prima domanda riguarda la correttezza della seguente dimostrazione che ho prodotto del fatto che il supporto è infinito:
Dimostrare che il supporto è infinito equivale a dimostrare che un polinomio \( f(x_1,x_2) \in \mathbb{C}[x_1,x_2] \) ha infinite radici. Se consideriamo il polinomio \( f(x_1,x_2) \) come un polinomio in una variabile, ad esempio \( x_1 \), allora per il teorema fondamentale dell'algebra esistono sicuramente radici che sono della forma \( g(x_2) \) con \( g:A \subseteq \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) funzione continua. Allora ogni elemento della forma \( (g(x_2),x_2) \in \mathbb{C}^2 \) è radice di \( f(x_1,x_2) \) come polinomio di due variabili, e dunque è un elemento di \( V(\mathcal{C}) \). La tesi seguirebbe dal fatto che \( A \) è infinito, fatto di cui però non sono certo a priori.
La seconda domanda riguarda il dimostrare che il supporto è illimitato: l'unica idea che mi è venuta è quella di sfruttare il fatto che, essendo \( \mathbb{C} \) algebricamente chiuso, ogni curva affine in \( \mathbb{C} \) ha almeno un punto all'infinito, solo che non so come collegare formalmente l'esistenza di un punto all'infinito (che dovrebbe rappresentare in un certo senso una direzione "all'infinito" della curva) con l'illimitatezza del supporto rispetto alla norma euclidea.
Ciao Luigi, non capisco bene il tuo ragionamento riguardo alla funzione \(g\) e all'insieme \(A\). Potresti essere più esplicito?
Per quanto riguarda l'illimitatezza del supporto, l'idea del punto all'infinito non è male, e c'è caso che si arrivi alla conclusione, formalizzandola per bene. C'è una giustificazione molto più semplice, però. Ti do un suggerimento: fissato \(R>0\), riesci a ricondurti ad applicare il "solito" teorema fondamentale dell'algebra, però assicurandoti che le soluzioni che trovi ti diano punti della curva a distanza almeno \(R\) dall'origine di \(\mathbb{C}^2\)?
Per quanto riguarda l'illimitatezza del supporto, l'idea del punto all'infinito non è male, e c'è caso che si arrivi alla conclusione, formalizzandola per bene. C'è una giustificazione molto più semplice, però. Ti do un suggerimento: fissato \(R>0\), riesci a ricondurti ad applicare il "solito" teorema fondamentale dell'algebra, però assicurandoti che le soluzioni che trovi ti diano punti della curva a distanza almeno \(R\) dall'origine di \(\mathbb{C}^2\)?
Il mio ragionamento è stato che, dato un polinomio \( f(x_1,x_2) \in \mathbb{C}[x_1,x_2] \), posso vederlo come polinomio di una variabile, considerando ad esempio \( x_1 \) come variabile e \(x_2\) come parametro complesso, che quindi fa parte dei coefficienti. Allora in questo caso \(f\) diventa un polinomio in una variabile a valori complessi, e possiamo dunque applicare il teorema fondamentale dell'algebra e sfruttare il fatto che le radici di un polinomio sono funzioni continue dei coefficienti, e pertanto \(g\) sarebbe una funzione continua rispetto a \(x_2\), mentre \(A\) è semplicemente il dominio di \(g\), e dunque poiché la dimostrazione funziona solo se \(A\) è infinito (perché \(V(\mathcal{C})\) non sarebbe altro che il grafico della funzione \(g\), che è infinito se lo è il dominio) volevo sapere intanto se la dimostrazione è corretta oppure no e, nel caso in cui lo fosse, se e perché possiamo dire che \(A\) è infinito.
Per l'illimitatezza, ho pensato che per avere una radice dalla norma arbitrariamente grande bisogna riscalarla, solo che non è detto che se \(P\) è radice di \(f\) lo sia anche \(\lambda P\) per un qualche \( \lambda \) positivo, quindi ho pensato che la strada giusta potesse essere quella di omogeneizzare \(f\), riscalare a piacimento le radici sfruttando la proprietà di omogeneità e "rimandarle" indietro nello spazio affine usando magari una carta affine opportuna. Sono sulla buona strada?
Per l'illimitatezza, ho pensato che per avere una radice dalla norma arbitrariamente grande bisogna riscalarla, solo che non è detto che se \(P\) è radice di \(f\) lo sia anche \(\lambda P\) per un qualche \( \lambda \) positivo, quindi ho pensato che la strada giusta potesse essere quella di omogeneizzare \(f\), riscalare a piacimento le radici sfruttando la proprietà di omogeneità e "rimandarle" indietro nello spazio affine usando magari una carta affine opportuna. Sono sulla buona strada?
Buongiorno,
mi sembra ci siano vari problemi nell'approccio che delinea. Come ha già osservato Mattia, non è chiaro da quanto scrive chi sia $A$. Da quanto scrive, non si vede ad esempio perché A non possa essere tutto $\mathbb{C}$, ad esempio.
Comunque, fissato $x_1\in \mathbb{C}$ (o in $A$?), possiamo pensare $f(x_1,x_2)$ come un polinomio $g$ nella sola variabile $x_2$. Per il Teorema fondamentale dell'algebra, tale polinomio (a meno che sia costante e non nullo...) avrà almeno una radice (il fatto che le radici dipendano in maniera continua dai coefficienti non è banale, e non è nemmeno banalissimo esprimerlo in maniera corretta, visto che radici diverse possono diventare coincidenti, etc. etc.). Dunque, per ogni $x_1$ in $A$ esisterà uno zero di $f$ della forma $(x_1,x_2)$. Probabilmente, sarebbe sensato definire $A$ come l'insieme degli $a$ per cui $f(a,x_2)$ NON sia costante non nullo (e bisognerebbe poi verificare che $A$ sia infinito). Si noti anche che la funzione $g$ non è ben definita: per un fissato valore di $x_1$ possono benissimo esserci molte radici di $f(x_1,x_2)$, e dunque $g(x_1)$ potrebbe non essere ben definito.
In realtà, se $f$ non è costante non nullo, si può vedere che l'insieme $A$ che ho definito poco fa non solo è infinito, ma è anche illimitato (addirittura, è il complementare di un numero finito di punti). Questo permette di dire che esistono punti $(a,b)$ tali che $f(a,b)=0$ per $a$ che varia in un insieme illimitato. In particolare, l'insieme degli zeri di $f$ è illimitato.
Un'ultima precisazione: nel suo messaggio sembra alludere al fatto che riscalando un polinomio se ne riscalino anche le radici, ma questo è falso: i polinomi $f$ e $\lambda f$ hanno le stesse radici!
mi sembra ci siano vari problemi nell'approccio che delinea. Come ha già osservato Mattia, non è chiaro da quanto scrive chi sia $A$. Da quanto scrive, non si vede ad esempio perché A non possa essere tutto $\mathbb{C}$, ad esempio.
Comunque, fissato $x_1\in \mathbb{C}$ (o in $A$?), possiamo pensare $f(x_1,x_2)$ come un polinomio $g$ nella sola variabile $x_2$. Per il Teorema fondamentale dell'algebra, tale polinomio (a meno che sia costante e non nullo...) avrà almeno una radice (il fatto che le radici dipendano in maniera continua dai coefficienti non è banale, e non è nemmeno banalissimo esprimerlo in maniera corretta, visto che radici diverse possono diventare coincidenti, etc. etc.). Dunque, per ogni $x_1$ in $A$ esisterà uno zero di $f$ della forma $(x_1,x_2)$. Probabilmente, sarebbe sensato definire $A$ come l'insieme degli $a$ per cui $f(a,x_2)$ NON sia costante non nullo (e bisognerebbe poi verificare che $A$ sia infinito). Si noti anche che la funzione $g$ non è ben definita: per un fissato valore di $x_1$ possono benissimo esserci molte radici di $f(x_1,x_2)$, e dunque $g(x_1)$ potrebbe non essere ben definito.
In realtà, se $f$ non è costante non nullo, si può vedere che l'insieme $A$ che ho definito poco fa non solo è infinito, ma è anche illimitato (addirittura, è il complementare di un numero finito di punti). Questo permette di dire che esistono punti $(a,b)$ tali che $f(a,b)=0$ per $a$ che varia in un insieme illimitato. In particolare, l'insieme degli zeri di $f$ è illimitato.
Un'ultima precisazione: nel suo messaggio sembra alludere al fatto che riscalando un polinomio se ne riscalino anche le radici, ma questo è falso: i polinomi $f$ e $\lambda f$ hanno le stesse radici!
Buonasera,
mi è chiaro adesso che effettivamente bastava fissare uno dei due parametri per dimostrare che il numero delle radici di un polinomio a due variabili in \( \mathbb{C} \) è infinito, piuttosto che complicarsi inutilmente la vita con funzioni (tra l'altro effettivamente non ben definite), e che anche l'illimitatezza del supporto discende dal fatto che l'insieme \(A\) è tutto \( \mathbb{C} \) meno un numero finito di punti.
Per quanto riguarda la seconda parte, volevo dire che dato un polinomio \( f\) e una sua radice \(P\), non è detto che anche \( \lambda P \) lo sia: in altre parole se \( f(P)=0\) non è detto in generale che \(f(\lambda P)=0\). L'idea che mi era venuta era che invece il precedente fatto vale per polinomi omogenei, in quanto se \( F \) è un polinomio omogeneo di grado \(d\) e \( P \) è una sua radice, allora \( F(\lambda P)=\lambda ^d F(P)=\lambda ^d \cdot 0=0 \), e quindi sfruttare questo fatto per dimostrare l'illimitatezza del supporto della chiusura proiettiva di una curva affine. Il mio dubbio era come tornare al supporto della curva affine dal supporto della sua chiusura proiettiva (prendendone la parte affine?).
mi è chiaro adesso che effettivamente bastava fissare uno dei due parametri per dimostrare che il numero delle radici di un polinomio a due variabili in \( \mathbb{C} \) è infinito, piuttosto che complicarsi inutilmente la vita con funzioni (tra l'altro effettivamente non ben definite), e che anche l'illimitatezza del supporto discende dal fatto che l'insieme \(A\) è tutto \( \mathbb{C} \) meno un numero finito di punti.
Per quanto riguarda la seconda parte, volevo dire che dato un polinomio \( f\) e una sua radice \(P\), non è detto che anche \( \lambda P \) lo sia: in altre parole se \( f(P)=0\) non è detto in generale che \(f(\lambda P)=0\). L'idea che mi era venuta era che invece il precedente fatto vale per polinomi omogenei, in quanto se \( F \) è un polinomio omogeneo di grado \(d\) e \( P \) è una sua radice, allora \( F(\lambda P)=\lambda ^d F(P)=\lambda ^d \cdot 0=0 \), e quindi sfruttare questo fatto per dimostrare l'illimitatezza del supporto della chiusura proiettiva di una curva affine. Il mio dubbio era come tornare al supporto della curva affine dal supporto della sua chiusura proiettiva (prendendone la parte affine?).