Buonasera,
mi è chiaro adesso che effettivamente bastava fissare uno dei due parametri per dimostrare che il numero delle radici di un polinomio a due variabili in \( \mathbb{C} \) è infinito, piuttosto che complicarsi inutilmente la vita con funzioni (tra l'altro effettivamente non ben definite), e che anche l'illimitatezza del supporto discende dal fatto che l'insieme \(A\) è tutto \( \mathbb{C} \) meno un numero finito di punti.
Per quanto riguarda la seconda parte, volevo dire che dato un polinomio \( f\) e una sua radice \(P\), non è detto che anche \( \lambda P \) lo sia: in altre parole se \( f(P)=0\) non è detto in generale che \(f(\lambda P)=0\). L'idea che mi era venuta era che invece il precedente fatto vale per polinomi omogenei, in quanto se \( F \) è un polinomio omogeneo di grado \(d\) e \( P \) è una sua radice, allora \( F(\lambda P)=\lambda ^d F(P)=\lambda ^d \cdot 0=0 \), e quindi sfruttare questo fatto per dimostrare l'illimitatezza del supporto della chiusura proiettiva di una curva affine. Il mio dubbio era come tornare al supporto della curva affine dal supporto della sua chiusura proiettiva (prendendone la parte affine?).