Ciao Davide,
mi sembra che torni. Per caso a lezione abbiamo mai detto esplicitamente che se \(U\) è un aperto del prodotto (o più in generale se è intorno di qualche suo punto), allora l'insieme degli indici \(i\in I\) per cui \(\pi_i(U)\neq X_i\) è finito? Se per caso non l'avessimo mai visto, andrebbe controllato, visto che lo usi per dire che \(\widehat{I}\) è al più numerabile.
mi sembra che torni. Per caso a lezione abbiamo mai detto esplicitamente che se \(U\) è un aperto del prodotto (o più in generale se è intorno di qualche suo punto), allora l'insieme degli indici \(i\in I\) per cui \(\pi_i(U)\neq X_i\) è finito? Se per caso non l'avessimo mai visto, andrebbe controllato, visto che lo usi per dire che \(\widehat{I}\) è al più numerabile.
Buongiorno,
credo sia stato visto con il professor Frigerio nella lezione del 2020-10-30.
Avrei un'altra domanda riguardo questa cosa.
Non riesco a trovare un insieme aperto per la topologia prodotto che non sia un elemento della base che abbiamo mostrato, ovvero che non sia un prodotto cartesiano di un numero finito di aperti delle relative componenti e il resto delle componenti libere.
Se questo insieme non esistesse sarebbe comunque necessario dimostrare che (se \(U\) e' un aperto del prodotto allora l'insieme degli indici \(i\in I\) per cui \(\pi_i(U)\neq X_i\) e' finito) sapendo che questa proposizione vale per gli elementi della base?
credo sia stato visto con il professor Frigerio nella lezione del 2020-10-30.
Avrei un'altra domanda riguardo questa cosa.
Non riesco a trovare un insieme aperto per la topologia prodotto che non sia un elemento della base che abbiamo mostrato, ovvero che non sia un prodotto cartesiano di un numero finito di aperti delle relative componenti e il resto delle componenti libere.
Se questo insieme non esistesse sarebbe comunque necessario dimostrare che (se \(U\) e' un aperto del prodotto allora l'insieme degli indici \(i\in I\) per cui \(\pi_i(U)\neq X_i\) e' finito) sapendo che questa proposizione vale per gli elementi della base?
Ciao Davide,
aperti del genere in generale esistono, anche solo per il prodotto XxY di due spazi. Ad esempio se X è di Hausdorff, la diagonale è chiusa in XxX, e il suo complementare è un aperto che non è un prodotto di due aperti. Questo funziona anche se prendi un prodotto infinito di copie di un tale X, e guardi il luogo nel prodotto in cui le coordinate sono tutte uguali. Questo è chiuso in quanto intersezione di chiusi (le controimmagini delle diagonali di tutti i prodotti di due fattori), e il complementare è di nuovo un aperto che non è un prodotto.
aperti del genere in generale esistono, anche solo per il prodotto XxY di due spazi. Ad esempio se X è di Hausdorff, la diagonale è chiusa in XxX, e il suo complementare è un aperto che non è un prodotto di due aperti. Questo funziona anche se prendi un prodotto infinito di copie di un tale X, e guardi il luogo nel prodotto in cui le coordinate sono tutte uguali. Questo è chiuso in quanto intersezione di chiusi (le controimmagini delle diagonali di tutti i prodotti di due fattori), e il complementare è di nuovo un aperto che non è un prodotto.
Le invio quello che ho capito di quest'ultimo messaggio per evitare che mi convinca di qualcosa di diverso.
In ogni caso grazie ancora per i chiarimenti.
In ogni caso grazie ancora per i chiarimenti.
Ti confermo che hai capito bene.