Ciao Davide,
secondo me la tua soluzione non è corretta, perché non stai usando da nessuna parte esplicitamente che \(\varphi\) è lineare, e non penso che la conclusione sia vera se si assume soltanto che \(\varphi\) sia una bigezione. Tu parli di "equivalenza delle distanze" su \(\mathbb{R}^n\), ma non è vero che tutte le distanze su \(\mathbb{R}^n\) sono topologicamente equivalenti. Riflettici un po', e chiedi pure di nuovo se non riesci a risolvere.
secondo me la tua soluzione non è corretta, perché non stai usando da nessuna parte esplicitamente che \(\varphi\) è lineare, e non penso che la conclusione sia vera se si assume soltanto che \(\varphi\) sia una bigezione. Tu parli di "equivalenza delle distanze" su \(\mathbb{R}^n\), ma non è vero che tutte le distanze su \(\mathbb{R}^n\) sono topologicamente equivalenti. Riflettici un po', e chiedi pure di nuovo se non riesci a risolvere.
Buongiorno,
l'ipotesi che \(\varphi\) e' un isomorfismo l'ho usata per dire che \(d_\varphi\) e' una distanza.
Se riarrangiassi la cosa falsa che ho scritto nel modo che segue, potrebbe andare bene?
Per l'equivalenza delle distanze indotte da una norma su \(\mathbb{R}^n\) e il fatto che \(d_\varphi\) e' indotta da \(||\varphi(\cdot)||_2\) si ottiene \(\tau'=\tau_{d_\varphi}=\tau_{d_E|V}\)...
l'ipotesi che \(\varphi\) e' un isomorfismo l'ho usata per dire che \(d_\varphi\) e' una distanza.
Se riarrangiassi la cosa falsa che ho scritto nel modo che segue, potrebbe andare bene?
Per l'equivalenza delle distanze indotte da una norma su \(\mathbb{R}^n\) e il fatto che \(d_\varphi\) e' indotta da \(||\varphi(\cdot)||_2\) si ottiene \(\tau'=\tau_{d_\varphi}=\tau_{d_E|V}\)...
Per dire che \(d_\varphi\) è una distanza basta che \(\varphi\) sia una bigezione, non serve che sia lineare. Il fatto che sia lineare ti assicura piuttosto che la tua \(d_\varphi\) sia indotta da una norma, e quindi puoi concludere poi come fai tu.
(Nota che sapendo solo che \(\varphi\) è una bigezione, non puoi concludere che \(||\varphi(-)||\) è una norma.)
Grazie per i chiarimenti