Dato uno spazio topologico \(X\) e un suo sottospazio \(D\), prendiamo una relazione di equivalenza \(\sim\) su \(X\).
Allora possiamo considerare i due spazi:
Presa \(\pi\) la proiezione al quoziente, lo spazio \((\pi(D), \tau_\le)\), ottenuto imponendo la topologia di sottospazio a \(\pi(D)\).
Presa la relazione di equivalenza \(\sim_D\) ristretta a \(D\), lo spazio (\(D/\sim_D, \tau_{\sim_D}) \) ottenuto come quoziente dello spazio \(D\) rispetto a \(\sim_D\).
Non sono del tutto sicuro se/quando i due sottospazio sono omeomorfi.
In generale credo di no. Basta prendere \(X=\mathbb{R}\), \(X = [0,1)\) e \(\sim\) la solita relazione di equivalenza data dagli interi. Uno spazio topologico è omeomorfo a \(S^1/), l'altro a \([0,1)\).
Però credo che funzioni porre che il quoziente sia \(T2\) e \(D\) compatto. In questo caso la mappa \( \phi \colon (D, \tau_D) \to (\pi(D), \tau_\le)\) è una identificazione e il gioco è fatto.
Corretto?
In reply to MIRKO TORRESANI
Re: Commutazione Operatore di Sottospazio e Quoziente
by MIRKO TORRESANI -
Intendevo \(D = [0,1)\)
Ciao Mirko,
sì, confermo quello che dici.
sì, confermo quello che dici.
Perfetto. Perché mi è nato un dubbio per quanto riguarda la soluzione dell'esame del 17 settembre (quello relativo alla hanno accademico 19/20) Nel terzo esercizio viene chiesto di descrivere \(p_1(\partial Q)\) e \(p_2(\partial Q)\). In particolare nel descrivere \( p_1(\partial Q)\) viene detto che può essere visto come il quoziente di due segmenti consecutivi di cui vengono identificati gli estremi esterni. In base a quanto detto sopra, questo ragionamento è corretto in quanto \(p_1(Q)\) è omeomorfo a \(D^2/\sim\), dove sto identificando i punti antipodali su \(S^1\). Cioè è omeomorfo a \(\mathbb{P}^2(\mathbb{R})\) che è \(T_2\). Corretto?
Grazie per il chiarimento
Grazie per il chiarimento
Direi di sì.