Salve, avrei un dubbio sull'Esercizio 5.11 del libro "Topologia" di M. Manetti.
In particolare, penso che o ci sia qualcosa che non va nella consegna o mi sta sfuggendo qualcosa.
Allego un documento LaTeX con il testo dell'esercizio e l'esposizione di un "caso" in cui la proprietà che si chiede di dimostrare non vale, sì da riuscire a spiegarmi - spero - chiaramente.
Ciao Andrea,
credo che tu abbia ragione. Se supponi che il contenimento sia stretto, mi sembra che poi la cosa torni. Se ad esempio supponi che \(X\) sia connesso (cosa che magari Manetti voleva fare), questo contenimento stretto segue, perché \(K\) è chiuso in \(X\), e visto che \(A\) è aperto, non può essere \(A=K\) (proprio per connessione di \(X\)).
Prova a fare l'esercizio supponendo di avere il contenimento stretto e vedi come va. Rispondi pure qui se hai altre domande.
(occhio che non è vero che \(a\in \emptyset\) è vera per ogni \(a\), in effetti è falsa per ogni \(a\) - il vuoto non ha elementi!)
credo che tu abbia ragione. Se supponi che il contenimento sia stretto, mi sembra che poi la cosa torni. Se ad esempio supponi che \(X\) sia connesso (cosa che magari Manetti voleva fare), questo contenimento stretto segue, perché \(K\) è chiuso in \(X\), e visto che \(A\) è aperto, non può essere \(A=K\) (proprio per connessione di \(X\)).
Prova a fare l'esercizio supponendo di avere il contenimento stretto e vedi come va. Rispondi pure qui se hai altre domande.
(occhio che non è vero che \(a\in \emptyset\) è vera per ogni \(a\), in effetti è falsa per ogni \(a\) - il vuoto non ha elementi!)
Salve, grazie per la risposta.
Proverò a fare l'esercizio, in caso di domande chiederò qui.
Riguardo all'ultima osservazione ha perfettamente ragione. Mi sono completamente sbagliato e anzi è l'esatto contrario di quello che ho scritto! Il ragionamento, seguito correttamente, porta al primo punto dell'elenco.
Proverò a fare l'esercizio, in caso di domande chiederò qui.
Riguardo all'ultima osservazione ha perfettamente ragione. Mi sono completamente sbagliato e anzi è l'esatto contrario di quello che ho scritto! Il ragionamento, seguito correttamente, porta al primo punto dell'elenco.