Salve, avrei dei dubbi riguardo ad un esercizio assegnato in data 13/11/2020.
Per potermi spiegare pienamente, ho creato un documento in LaTeX con le risoluzioni proposte e - soprattutto - le relative domande e i dubbi insorti nel tentare la risoluzione.
Vi ringrazio per la disponibilità
Ciao Andrea,
con la tua prima e seconda dimostrazione ci sono dei problemi. La terza regge (è quella che avevo visto io prima di lasciarvi l'esercizio), anche se manca un dettaglio verso la fine in quello che hai scritto.
L'errore di fondo che fai nelle prime due è il seguente: non è vero che se \(U\) è un sottoinsieme del prodotto e \(U_i\) sono le proiezioni in \(X_i\), allora un punto del prodotto sta in \(U\) se e solo se la sua componente \(i\)-esima sta in \(U_i\) per ogni \(i\). Questo è vero se e solo se \(U\) è prodotto degli \(U_i\). Ad esempio, se consideri un prodotto arbitrario di spazi con \(X_i\) tutti uguali a uno spazio \(X\) fissato, e consideri il sottoinsieme \(\Delta\) costituito dai punti con coordinate tutte uguali, cioè dagli \((x_i)_{i\in I}\) tali che \(x_i=x_j\) per ogni \(i,j\) in \(I\), allora l'immagine tramite qualsiasi proiezione a un singolo fattore è tutto lo spazio, e se fosse vera l'equivalenza di sopra, anche \(\Delta\) dovrebbe essere tutto lo spazio, cosa che non è.
Nella tua prima dimostrazione non puoi quindi concludere che \(U\cap \tilde{X}_{i_0}\) non è vuoto soltanto dal fatto che \(x_i\in U_i\) per ogni \(i\), e nella seconda dimostrazione l'ultima cosa che scrivi è falsa.
In effetti se ci pensi il punto della terza dimostrazione è proprio di rimediare a questo problema, aggiustando tutte le coordinate tranne una. L'unica cosa che manca alla fine di quella dimostrazione è osservare che le controimmagini di \(U\) e \(V\) tramite \(\rho\) sono non vuote. Questo segue esattamente dal fatto che per costruzione \(u(\hat{i})\) sta in \(\rho^{-1}(U)\) e \(v(\hat{i})\) sta in \(\rho^{-1}(V)\) (visto che l'elemento \(v\) del prodotto ha tutte le coordinate diverse dalla \(\hat{i}\)-esima uguali a \(u(i)\)).
con la tua prima e seconda dimostrazione ci sono dei problemi. La terza regge (è quella che avevo visto io prima di lasciarvi l'esercizio), anche se manca un dettaglio verso la fine in quello che hai scritto.
L'errore di fondo che fai nelle prime due è il seguente: non è vero che se \(U\) è un sottoinsieme del prodotto e \(U_i\) sono le proiezioni in \(X_i\), allora un punto del prodotto sta in \(U\) se e solo se la sua componente \(i\)-esima sta in \(U_i\) per ogni \(i\). Questo è vero se e solo se \(U\) è prodotto degli \(U_i\). Ad esempio, se consideri un prodotto arbitrario di spazi con \(X_i\) tutti uguali a uno spazio \(X\) fissato, e consideri il sottoinsieme \(\Delta\) costituito dai punti con coordinate tutte uguali, cioè dagli \((x_i)_{i\in I}\) tali che \(x_i=x_j\) per ogni \(i,j\) in \(I\), allora l'immagine tramite qualsiasi proiezione a un singolo fattore è tutto lo spazio, e se fosse vera l'equivalenza di sopra, anche \(\Delta\) dovrebbe essere tutto lo spazio, cosa che non è.
Nella tua prima dimostrazione non puoi quindi concludere che \(U\cap \tilde{X}_{i_0}\) non è vuoto soltanto dal fatto che \(x_i\in U_i\) per ogni \(i\), e nella seconda dimostrazione l'ultima cosa che scrivi è falsa.
In effetti se ci pensi il punto della terza dimostrazione è proprio di rimediare a questo problema, aggiustando tutte le coordinate tranne una. L'unica cosa che manca alla fine di quella dimostrazione è osservare che le controimmagini di \(U\) e \(V\) tramite \(\rho\) sono non vuote. Questo segue esattamente dal fatto che per costruzione \(u(\hat{i})\) sta in \(\rho^{-1}(U)\) e \(v(\hat{i})\) sta in \(\rho^{-1}(V)\) (visto che l'elemento \(v\) del prodotto ha tutte le coordinate diverse dalla \(\hat{i}\)-esima uguali a \(u(i)\)).
Chiaro, è quanto mi interessava sapere. Alla fine, il punto della questione era proprio quello che mi ha spiegato. Ho capito.
Grazie mille!
Grazie mille!