Quando abbiamo fatto l'esercizio del 13 aprile sui sollevamenti di grado 3 di \(S^1 \vee S^1\), sono stati lasciati per esercizio i dettagli finali. Volevo chiedere conferma sul risultato ottenuto.
Personalmente vengono, a meno di isomorfismi di rivestimenti, 4 rivestimenti regolari corrispondenti alle ipotesi:
\( \alpha \in H, \beta \not\in H, \alpha \ast \beta \not\in H\)
----------
\( \alpha \not\in H, \beta \in H, \alpha \ast \beta \not\in H\)
,------------
\( \alpha \not\in H, \beta \not\in H, \alpha \ast \beta \in H\)
,------------
\( \alpha \not\in H, \beta \not\in H, \alpha \ast \beta \not\in H\)
---------------,
e 3 invece non regolari corrispondenti alle ipotesi
\( \alpha \in H, \beta \not\in H, \alpha \ast \beta \in H\)
-------------
\( \alpha \not\in H, \beta \in H, \alpha \ast \beta \in H\)
-----------------
\( \alpha \in H, \beta \in H, \alpha \ast \beta \in H\)
Perfetto, sono 4 regolari e 3 non regolari.
Per quanto riguarda la descrizione di H, direi c'è qualche errore nella descrizione del caso non regolare. Sicuramente l'ultima è sbagliata.
In realtà la descrizione di H sarebbe meglio darla in un altro modo, perché non è che un sottogruppo è individuato dal fatto che a, b, e a*b vi appartengono oppure no. Nel caso regolare credo di capire cosa intendi ma nel caso non regolare sarebbe meglio dare una descrizione più completa e precisa. Tipo: l'immagine inversa di questo sottogruppo mediante questo omomorfismo.
Andrea Maffei
Per quanto riguarda la descrizione di H, direi c'è qualche errore nella descrizione del caso non regolare. Sicuramente l'ultima è sbagliata.
In realtà la descrizione di H sarebbe meglio darla in un altro modo, perché non è che un sottogruppo è individuato dal fatto che a, b, e a*b vi appartengono oppure no. Nel caso regolare credo di capire cosa intendi ma nel caso non regolare sarebbe meglio dare una descrizione più completa e precisa. Tipo: l'immagine inversa di questo sottogruppo mediante questo omomorfismo.
Andrea Maffei
Perfetto, grazie. Per quanto riguarda i 4 \(H\) regolari, gli ho individuati come nuclei delle funzioni \(\varphi_1, \dots, \varphi_4 \colon \Pi_1 \to \mathbb{Z}_3\) definite come:
,\(\varphi_1 \colon \alpha \mapsto 0, \beta \mapsto 1\)
, \(\varphi_2 \colon \alpha \mapsto 1, \beta \mapsto 0\)
, \(\varphi_3 \colon \alpha \mapsto 1, \beta \mapsto 1\)
,\(\varphi_4 \colon \alpha \mapsto 1, \beta \mapsto -1\)
Per quanto riguarda quelli non regolari, ho chiamato \(\tau\) il ciclo \((1\, 2)\) e \(\sigma\) quello \((1\,2\,3)\) . Allora i 3 sottogruppi che ho individuato sono \(\varphi_5^{-1}(\langle\tau\rangle), \varphi_6^{-1}(\langle\tau\rangle), \varphi_7^{-1}(\langle\tau\rangle) \) con
, \( \varphi_5 \colon \alpha \mapsto \tau, \beta \mapsto \sigma \)
, \( \varphi_6 \colon \alpha \mapsto \sigma, \beta \mapsto \tau\)
, \(\varphi_7 \colon \alpha \mapsto \tau, \beta \mapsto \sigma\tau\)
,\(\varphi_1 \colon \alpha \mapsto 0, \beta \mapsto 1\)
, \(\varphi_2 \colon \alpha \mapsto 1, \beta \mapsto 0\)
, \(\varphi_3 \colon \alpha \mapsto 1, \beta \mapsto 1\)
,\(\varphi_4 \colon \alpha \mapsto 1, \beta \mapsto -1\)
Per quanto riguarda quelli non regolari, ho chiamato \(\tau\) il ciclo \((1\, 2)\) e \(\sigma\) quello \((1\,2\,3)\) . Allora i 3 sottogruppi che ho individuato sono \(\varphi_5^{-1}(\langle\tau\rangle), \varphi_6^{-1}(\langle\tau\rangle), \varphi_7^{-1}(\langle\tau\rangle) \) con
, \( \varphi_5 \colon \alpha \mapsto \tau, \beta \mapsto \sigma \)
, \( \varphi_6 \colon \alpha \mapsto \sigma, \beta \mapsto \tau\)
, \(\varphi_7 \colon \alpha \mapsto \tau, \beta \mapsto \sigma\tau\)
Perfetto.
Allora forse avevi solo messo qualche appartiene al posto di qualche non appartiene, nel terzo caso non regolare non hai a,b e ab in H e nei primi due non hai ab in H.
Molto istruttivo e` anche fare un disegno di ognuno.
Saluti a tutti
Andrea Maffei
Allora forse avevi solo messo qualche appartiene al posto di qualche non appartiene, nel terzo caso non regolare non hai a,b e ab in H e nei primi due non hai ab in H.
Molto istruttivo e` anche fare un disegno di ognuno.
Saluti a tutti
Andrea Maffei
Grazie mille. Non mi riesco a immaginare il caso non regolare. In particolare non sono sicruo se sia possibile la seguente configurazione:
Chiamiamo \( \tilde{x}_0, \tilde{x}'_0, \tilde{x}''_0\) i sollevamenti di \(x_0\) in \(E\). Può essere che un sollevamento di \(\beta\) vada da \( \tilde{x}_0 \) a \(\tilde{x}'_0\), il secondo da \(\tilde{x}'_0\) a \( \tilde{x}_0\), il terzo da \(\tilde{x}''_0\) a \(\tilde{x}_0\)?
Chiamiamo \( \tilde{x}_0, \tilde{x}'_0, \tilde{x}''_0\) i sollevamenti di \(x_0\) in \(E\). Può essere che un sollevamento di \(\beta\) vada da \( \tilde{x}_0 \) a \(\tilde{x}'_0\), il secondo da \(\tilde{x}'_0\) a \( \tilde{x}_0\), il terzo da \(\tilde{x}''_0\) a \(\tilde{x}_0\)?