Geometria 2 2020/2021

Esercizio 1

Sia \( K\subseteq \mathbb{R}^2 \) un insieme compatto tale che \( (0,0) \in K \).

1. [6 punti] Si mostri che esiste \( x_0\in\mathbb{R}^2\setminus K \) tale che \( \pi_1(\mathbb{R}^2\setminus K,x_0)\neq \{1\}\).
2. [4 punti] È vero che per ogni \( x_0\in \mathbb{R}^2\setminus K\) si ha necessariamente \( \pi_1(\mathbb{R}^2\setminus K,x_0)\neq \{1\}\)?
3. [6 punti] Si supponga ora che \( K \) sia, oltre che compatto, anche convesso. Si mostri che, per ogni \( x_0\in  \mathbb{R}^2\setminus K \), si ha \(\pi_1( \mathbb{R}^2\setminus K,x_0)\cong\mathbb{Z}\).

Esercizio 2

[12 punti] Al variare di \( a\in\mathbb{R}\) , \(a>0\), si calcoli

Esercizio 3

Sia \( X=\mathbb{C}\setminus \{-1,1\}\) e si considerino i tre sottoinsiemi della retta reale (che consideriamo contenuta in \(\mathbb{C}\)) dati da 

\(I=(-\infty,-1)\), \(J=(-1,1)\) e \(H=(1,\infty)\). 

1. [6 punti] Si determini il gruppo fondamentale di \(X\);
2. [9 punti] Sia \(p:E\to X\) un rivestimento connesso di grado \(2\). Si dimostri che almeno uno dei seguenti insiemi è sconnesso: \(p^{-1}(X\setminus I)\), \(p^{-1}(X\setminus J)\), \(p^{-1}(X\setminus H)\).