Geometria 2 2020/2021

Esercizio 1

Si considerino le seguenti relazioni di equivalenza su \(\mathbb{R}\):

\( x\sim_1 y\qquad \Longleftrightarrow\qquad x=y\ \text{oppure}\ |x|=|y|\geq 1\ \),

\( x\sim_2 y\qquad \Longleftrightarrow\qquad x=y\ \text{oppure}\ |x|=|y|> 1\ \),

e siano \(X_1=\mathbb{R}/\sim_1\), \(X_2=\mathbb{R}/\sim_2\).

1. [9 punti] Si descriva un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\) omeomorfo a \(X_1\) (dimostrando che effettivamente lo è).
2. [6 punti] Si mostri che \(X_2\) non è omeomorfo ad alcun sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\). 

Esercizio 2

Sia \( \mathcal{C}\subseteq \mathbb{P}^2(\mathbb{C})\) una curva liscia, e si consideri la funzione \(f_\mathcal{C}\colon V(\mathcal{C})\to \mathbb{P}^2(\mathbb{C})\) che manda \(P\in V(\mathcal{C})\) nel punto \([a_0,a_1,a_2]\in \mathbb{P}^2(\mathbb{C})\), dove \(a_0,a_1,a_2\) sono coefficienti di un'equazione della retta tangente a \(\mathcal{C}\) in \(P\), nella forma \(a_0x_0+a_1x_1+a_2x_2=0\).

1. [2 punti] Si mostri che \(f_\mathcal{C}\) è ben definita.
2. [4 punti] Si mostri che se \(\mathcal{C}\) è una conica liscia di equazione \(ax_0^2+bx_1^2+cx_2^2=0\) con \(a,b,c \in \mathbb{C}\), allora l'immagine di \(f_\mathcal{C}\) è di nuovo una conica in \(\mathbb{P}^2(\mathbb{C})\), e se ne esibisca una equazione.
   
3. [4 punti] Si mostri che se \(\mathcal{C}\) è una cubica liscia, allora \(f_\mathcal{C}\) è iniettiva.
4. [5 punti] Sia \(\mathcal{C}\) la curva in \(\mathbb{P}^2(\mathbb{C})\) di equazione \(x_0x_2^2-x_1^3=0\), e si consideri \(f_\mathcal{C}\colon V(\mathcal{C})\setminus \mathrm{Sing}(\mathcal{C})\to \mathbb{P}^2(\mathbb{C})\) definita come sopra, dove \(\mathrm{Sing}(\mathcal{C})\) denota l'insieme dei punti singolari di \(\mathcal{C}\). Si mostri, esibendone una equazione, che esiste una curva \(\mathcal{D}\) in \(\mathbb{P}^2(\mathbb{C})\) tale per cui \(\mathrm{Im}(f_\mathcal{C})\subseteq V(\mathcal{D})\).    

Esercizio 3

[15 punti] Siano \(X,Y\) spazi topologici, e \(f\colon X\to Y\) una funzione continua chiusa, e tale che per ogni \(y\in Y\) il sottospazio \(f^{-1}(y)\subseteq X\) è compatto. Si dimostri che \(f\) è propria. 

(Puè essere utile dimostrare preliminarmente che, per ogni \(y\in Y\), se \(A\) è un aperto di \(X\)  tale che \(f^{-1}(y)\subseteq A\), allora esiste un aperto \(U\) di \(Y\) tale che \( y \in U\) e \(f^{-1}(U)\subseteq A\)).